Abstract

This dissertation is a combination of four articles on the topic of scattering problems for a biharmonic operator. The operator of interest has two coefficients which may be complex-valued and singular. Each of the articles concerns a different aspect of the problem. Namely, the first article discusses the direct scattering problem in higher dimensions and culminates in a proof of Saito’s formula, which yields a uniqueness result for the inverse scattering problem. The second paper is about a backscattering problem in two and three dimensions. We prove that the inverse Born approximation can be used to recover the singularities in the coefficients of the operator. The third article fills in an answer to the question about recovering the complex-valued coefficients in three dimensions that was left open in the second article. The final article studies the inverse scattering problem on the line for a quasi-linear operator.

Tiivistelmä

Väitöskirjatyö koostuu neljästä artikkelista, jotka käsittelevät sirontaongelmia biharmoniselle operaattorille. Työn kohteena olevalla operaattorilla on kaksi kerrointa, jotka voivat olla kompleksiarvoisia ja singulaarisia. Kukin artikkeli käsittelee sirontaongelmaa eri näkökulmasta. Ensimmäinen artikkeli koostuu pääasiassa suorasta sirontateoriasta korkeammissa ulottuvuuksissa huipentuen lopulta Saiton kaavan todistukseen, jonka seurauksena saadaan yksikäsitteisyystulos käänteiselle sirontaongelmalle. Toisen artikkelin aiheena on takaisinsirontaongelma kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa. Todistamme, että käänteistä Bornin approksimaatiota voidaan käyttää paikantamaan kertoimien mahdolliset singulariteetit. Kolmas artikkeli vastaa toisessa artikkelissa avoimeksi jääneeseen kysymykseen kompleksiarvoisien kertoimien rekonstruoimisesta kolmessa ulottuvuudessa. Viimeisessä artikkelissa tutkitaan käänteistä sirontaongelmaa kvasilineaariselle operaattorille yhdessä ulottuvuudessa.