Tässä tutkielmassa perehdytään yhtälön Xⁿ = c ratkaisuihin liittyviin kysymyksiin äärellisessä ryhmässä. Emme kiinnitä juurikaan huomiota ratkaisujen olemassaoloon tai niiden etsimiseen, vaan olemme lähinnä kiinnostuneita ratkaisujen lukumäärästä. Tarkka lukumäärä tietysti riippuu ryhmästä, mutta yleisessä tapauksessa voidaan osoittaa, että missä tahansa äärellisessä ryhmässä ratkaisujen lukumäärä on tietyn luvun monikerta.

Lähtökohtana on yhtälö Xⁿ = 1. Todistamme Frobeniuksen lauseen, jonka mukaan jos positiivinen kokonaisluku n jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin yhtälön Xⁿ = 1 ratkaisujen lukumäärä ryhmässä on luvun n monikerta. Tämän jälkeen siirrymme Frobeniuksen lauseen yleistyksiin. Pääpaino on yhtälössä Xⁿ = c, missä c on jokin ryhmän alkio. Osoitamme, että tässä tapauksessa ratkaisujen lukumäärä on luvun (n, |C(c)|) monikerta, missä C(c) on alkion c sentralisoija. Tarkastelemme myös ratkaisujen lukumäärää kaksoissivuluokissa HyH, missä y on jokin ryhmän alkio ja H on aliryhmä. Lisäksi esitämme ilman todistuksia muun muassa Philip Hallin sanayhtälöihin liittyvät tulokset.

Yhtälöön Xⁿ = 1 liittyy Frobeniuksen otaksuma, jonka mukaan jos n jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun ja yhtälön Xⁿ = 1 ratkaisujen lukumäärä ryhmässä on tarkalleen n, niin ratkaisujen joukko muodostaa normaalin aliryhmän. Käymme läpi useita otaksuman erikoistapauksia ja todistamme Frobeniuksen otaksuman ratkeaville ryhmille. Lisäksi osoitamme, että Frobeniuksen otaksuma pätee mille tahansa ryhmälle kun n on neliövapaa. Frobeniuksen lauseen yleistyksen sovelluksena todistamme Richard Zemlinin tuloksen, jonka mukaan jos Frobeniuksen otaksuma ei pidä paikkansa, niin pienintä mahdollista kertalukua oleva vastaesimerkki otaksumalle on yksinkertainen ryhmä. Näin ollen Frobeniuksen otaksuman todistamisessa voidaan siis turvautua äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokitteluun. Otaksuman todistus valmistui 90-luvun alkupuolella kun jokainen yksinkertaisten ryhmien perhe oli tarkastettu. Alternoiville ryhmille otaksuman todisti James Rust. Suurimman työn tekivät Nobuo Iiyori ja Hiroyoshi Yamaki, jotka kävivät läpi loput yksinkertaiset ryhmät artikkeleissa, jotka ilmestyivät vuosina 1983–1993.

Tutkielman lopussa käymme läpi useita Frobeniuksen lauseen sovelluksia. Osoitamme esimerkiksi, että äärellinen ryhmä on ratkeava jos sen jokainen Sylowin p-aliryhmä on syklinen. Erityisesti tästä seuraa Frobeniuksen tulos, jonka mukaan ryhmä on ratkeava jos sen kertaluku on neliövapaa. Lisäksi tutkimme myös yhtälön Xⁿ = 1 ratkaisujen lukumäärän vaikutusta äärellisen ryhmän rakenteeseen. Tähän liittyen todistamme, että äärellinen ryhmä on ratkeava jos kaikilla kokonaisluvuilla n yhtälöllä Xⁿ = 1 on ryhmässä korkeintaan 6n ratkaisua.