Abstract. We study both the direct and the inverse scattering problems for a differential operator of order 4 on the line. In the direct scattering problem we start by forming a differential equation from our operator. By applying the fundamental solution of the differential operator we turn the differential equation into an integral equation, and proceed to solve it.

Having found the solution to the integral equation we study the asymptotic behaviour of the solution. We conclude the study of the direct scattering problem by defining so called transmission and reflection coefficients, that are needed to solve the inverse scattering problem.

In the inverse scattering problem we simplify the operator by choosing its coefficients suitably. It turns out that the operator includes one interesting potential function V. The inverse problem is formulated as follows: find and construct the jumps and singularities of the potential V. By using the reflection coefficient defined previously we define the so called inverse Born approximation V_B. We prove that the difference V-V_B is a continuous function. This means that the jumps and singularities of potential V can be found by calculating V_B.Suora ja käänteinen sirontaongelma neljännen kertaluvun operaattorille. Tiivistelmä. Työssä tutkitaan sekä suoraa että käänteistä sirontaongelmaa neljännen kertaluvun differentiaalioperaattorille. Suorassa sirontaongelmassa käytämme operaattoria muodostaaksemme differentiaaliyhtälön. Soveltaen operaattorin perusratkaisua, voimme muuntaa differentiaaliyhtälön integraaliyhtälöksi ja ratkaista sen.

Kun integraaliyhtälön ratkaisu on löydetty, tutkimme sen asymptoottista käyttäytymistä. Päätämme suoran sirontaongelman tarkastelun määrittelemällä asymptoottien avulla ns. välitys- ja heijastuskertoimet, joita tarvitaan käänteisen sirontaongelman ratkaisussa.

Käänteisessä sirontaongelmassa yksinkertaistamme operaattoria hieman. Käy ilmi, että operaattori sisältää tällöin yhden kiinnostavan potentiaalifunktion V. Käänteisen sirontaongelman asettelu on seuraava: etsi potentiaalin V mahdolliset hyppyepäjatkuvuudet ja singulariteetit, kun heijastuskerroin on tunnettu. Heijastuskertoimen avulla voimme määritellä ns. käänteisen Bornin approksimaation V_B. Osoitamme, että erotus V-V_B on jatkuva funktio. Tällöin potentiaalin V hypyt ja singulariteetit voidaan löytää laskemalla V_B.