On pystytty matemaattisesti todistamaan, että aaltojohteessa etenevän aaltoliikkeen tietyt taajuudet katoavat riippuen aaltojohteen hienorakenteesta. Tällöin sanotaan, että aaltojohteen taajuusspektrissä esiintyy aukkoja. Spektri on mahdollista määrittää ratkaisemalla vastaava ominaisarvo-ongelma elementtimenetelmällä. Näin saadaan laskettua spektrin muodostavat ominaisarvokäyrät, jotka ovat samalla aaltojohteen dispersiorelaatioita.

Tässä työssä näytetään, kuinka ominaisarvokäyrät käytännössä lasketaan. Lisäksi tutkitaan ominaisarvokäyrien ja niiden muodostamien kaistanleveyksien ja spektriaukkojen käyttäytymistä implementoimalla periodisen aaltojohteen hienorakenteeseen häiriötekijöitä. Työssä käsitellään sekä kaksi- että kolmiulotteista tapausta.

Aaltojohteen periodisuussolun geometria ja sen hila muodostetaan Gmsh:lla. Hila viedään FreeFem++:aan, joka laskee vastaavat ominaisarvot. FreeFem++:n ajon aikana muodostetaan MATLAB-skripti, joka visualisoi saadut lopputulokset. Kukin ohjelma esitellään ja niille kirjoitetaan kooditiedostot.

Laskennallisissa esimerkeissä tutkitaan ominaisarvokäyrien käyttäytymistä häiriötekijöitä varioimalla. Häiriöttömän periodisuussolun tapauksessa spektri on jatkuva ja se koostuu ominaisarvokäyrien muodostamista risteävistä kaarista. Kun periodisuussolu altistetaan häiriötekijälle, ominaisarvokäyrissä tapahtuu muutos. Riippuen häiriötekijän tyypistä ja muodosta, ominaisarvokäyrät voivat mennä päällekkäin tai loitota toisistaan. Kun ominaisarvokäyrät loittonevat toisistaan tarpeeksi, niiden väliin syntyy kaista- eli spektriaukko. Ominaisarvokäyrien käyttäytyminen on vahvasti sidoksissa häiriötyyppiin. Häiriötyypin muodon vaihtelulla sen sijaan on yleensä hyvin yhdenmukainen vaikutus ominaisarvokäyriin, joka voi olla magnitudiltaan hyvin pientä, hyvin suurta tai jotain siltä väliltä.

Tulokset ovat linjassa aaltojohteiden spektreihin liittyvän teorian kanssa. Koska tietyt taajuudet eivät pääse etenemään aaltojohteessa, toimii se eräänlaisena kaistanestosuodattimena. Tuloksia voi käyttää hyödyksi esimerkiksi aaltojohteen hienorakenteen optimoinnissa.

It has been mathematically proven that some frequencies of the wave motion propagating in a waveguide disappear depending on the fine structure of the waveguide. In that case it is said that there are gaps in the frequency spectrum of the waveguide. It is possible to determine the spectrum by solving the associated eigenvalue problem using the finite element method. In this way the eigenvalue curves, which determine the spectrum and also are the dispersion relations of the waveguide can be calculated.

In this thesis a way to calculate the eigenvalue curves is represented. The behavior of eigenvalue curves and related bandwidths and spectrum gaps are also researched by implementing a perturbation into the fine structure of the periodic waveguide. Both two- and three-dimensional cases are studied.

The geometry of the waveguide’s periodicity cell and its mesh is generated by using Gmsh. The mesh is imported into FreeFem++, in which the eigenvalues are calculated. During the run of FreeFem++ a MATLAB script, which visualizes the results is formed. Each program is introduced and code files are written for them.

In computational examples the behavior of the eigenvalue curves is researched by varying perturbations. In the case of a perturbation-free periodicity cell the spectrum is continuous and it consists of crossing curves formed by the eigenvalue curves. When a perturbation exists it has an effect on the eigenvalue curves which may start to overlap or recede from one another depending on a type and a form of the perturbation. When two eigenvalue curves are receded enough from one another, a band gap arises in between them. The behavior of the eigenvalue curves is strongly related to the type of the perturbation. A change in a form of the perturbation usually has very uniform effect on the eigenvalue curves while its magnitude may either be small, great, or something in between.

The results are in line with the theory related to the spectrum of waveguides. Because certain frequencies cannot propagate in a waveguide, it is a band-stop filter in a sense. The results can be used for example to optimize the fine structure of the waveguide.